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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 Fr 03.08.2007 | | Autor: | Steffy |
| Aufgabe | Eine ideale Münze wird zweimal geworfen.Man betrachte folgende Zufallsvariablen:
X gibt an, wie oft "Wappen" auftritt.
Y gibt an, wie oft "Zahl" auftritt.
V = |X-Y|
W = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{falls beim ersten Wurf Wappen auftritt} \\ 1, & \mbox{sonstige} \end{cases}
[/mm]
Sind X,V bzw. X,W bzw. V,W unabhängig? |
Hallo Zusammen,
zunächst habe ich eine Wertetabelle mit den X, V und W in Abhängigkeit von (ww), (zw), (wz) und (zz) aufgestellt.
Leider weiß ich nun nicht, wie ich weiter vorgehen muss.
Könnte mir da vielleicht jemand bitte weiter helfen???
Steffy
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Die Sache mit der Wertetabelle ist schon mal sehr gut.
Glücklicherweise gibt es hier ja nicht allzu viele Varianten: Es gibt nur zwei Würfe, und pro Wurf gibt es nur zwei Möglichkeiten.
Wann sind zwei Ereignisse voneinander unabhängig? = Sie sind unabhängig, wenn gilt:
p(A)*p(B)=p(A [mm] \cap [/mm] B)
So, nun stelle folgende Tabellen auf: X,V bzw. X,W bzw. V,W
und dann prüfe anhand des obigen Kriteriums, ob Abhängigkeit oder Unahängigkeit vorliegt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Fr 03.08.2007 | | Autor: | Steffy |
Hallo,
könntest du mir bitte ein Beispiel dafür geben??
Irgendwie weiß ich nicht, wie ich da vorgehen muss.
Danke.
Steffy
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Ich gebe dir mal ein Beispiel (das allerdings nichts direkt mit deiner Aufgae zu tun hat):
Du hast zwei Ereingnisse A und B. Das Gegenereignis dazu ist jeweils [mm] \overline{A} [/mm] bzw. [mm] \overline{B}
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hinter bzw. unter dem Doppelstrich steht jeweils die Wahrscheinlichkeit für A, [mm] \overline{A}, [/mm] B und [mm] \overline{B}
[/mm]
Da, wo sich A und B schneiden, das ist die Wahrscheinlichkeit für A [mm] \cap [/mm] B.
In diesem Fall ist p(A)*p(B)=0.35 und p(A [mm] \cap [/mm] B)=0.3
Also sind die beiden Ereignisse A und B voneinander abhängig.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Fr 03.08.2007 | | Autor: | Steffy |
Wenn ich den Fall nehmen, dass zweimal Wappen fällt, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit [mm] P({w,w})=\bruch{1}{4}
[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit P(X=2) beträgt [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
Stimmt folgende Wahrscheinlichkeit: [mm] P(V=2)=\bruch{1}{2}?
[/mm]
Auch wenn Wappen 2mal gefallen ist, nimmt man doch in dem Fall nicht [mm] \bruch{1}{4} [/mm] sondern [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
=> P(X=2) [mm] \cdot [/mm] P(V=2) = [mm] \bruch{1}{4} \cdot \bruch{1}{2}
[/mm]
Aber wieviel beträgt nun [mm] P(X=2)\cap [/mm] P(V=2)? Und wie kommt man darauf?
Ich seh momentan echt voll auf dem Schlau und komm nicht weiter :-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Fr 03.08.2007 | | Autor: | Blech |
> Wenn ich den Fall nehmen, dass zweimal Wappen fällt, dann
> ist doch die Wahrscheinlichkeit [mm]P({w,w})=\bruch{1}{4}[/mm]
Ja
> Die Wahrscheinlichkeit P(X=2) beträgt [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
Ja.
> Stimmt folgende Wahrscheinlichkeit: [mm]P(V=2)=\bruch{1}{2}?[/mm]
Ja.
> Aber wieviel beträgt nun [mm]P(X=2)\cap[/mm] P(V=2)? Und wie kommt
> man darauf?
Das muß [mm]P(X=2 \cap V=2) = P(\{\omega : X(\omega) = 2\}\cap \{\omega : V(\omega) = 2\})[/mm] sein, man kann nur Mengen schneiden.
EDIT: (ich hab's nicht verwendet, aber falls Du noch Interesse an der Berechnung hast)
[mm]\{\omega: X(\omega) = 2 \} = \{(w,w)\}\quad \{\omega: V(\omega) = 2 \} = \{(w,w), (z,z)\}[/mm]
[mm]\Rightarrow X=2 \cap V=2 = \{(w,w)\}[/mm]
>
> Ich seh momentan echt voll auf dem Schlau und komm nicht
> weiter :-(
Ich mach die Wkeit von Schnittmengen meist mit bedingter Wahrscheinlichkeit. Damit ist es für die Unabhängigkeit am einfachsten, es auch gleich über bedingte Wkeit zu machen. Für unabh. A, B gilt:
[mm]P(A|B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = P(A)[/mm]
X,V:
[mm]P(X=0|V=0)=0 \neq P(X=0)=1/4 \Rightarrow[/mm] abhängig
(Ist X=0, so muß V=2 sein, da aus X=0: Y=2 folgt)
X,W:
[mm]P(X=0|W=0)=0 \neq P(X=0)= 1/4 \Rightarrow[/mm] abhängig
(Die Wkeit von 0 mal Wappen unter der Bedingung, daß der erste Wurf Wappen war)
V,W
[mm]P(W=0|V=0)=P((w,z)) = 1/4 \neq P(W=0)= 1/2 \Rightarrow[/mm] abhängig
(Wenn der erste Wurf Wappen ist, muß der zweite Zahl sein, sonst wäre V=2)
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