x Gleichg. mit y>x Unbekannten < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein System von x Gleichungen mit y=x Unbekannten ist lösbar. So weit so gut.
Wie ist es nun, wenn y>x ist und stattdessen vorgegeben ist, welche Werte die Unbekannten annehmen dürfen, man also herausfinden muss, welche Unbekannte welchem Wert zuzuordnen ist?
Es wird BEHAUPTET, dass man daraus wieder ein Gleichungssystem mit x=y machen kann, indem die fehlenden Gleichungen sind:
[mm] \summe_{i=1}^{y}f(i)=festeZahl [/mm] oder [mm] \produkt_{i=1}^{y}f(i)=festeZahl
[/mm]
für z.B. f(i)=i
Ist diese Behauptung richtig?
Kann man sie beweisen oder zumindest begründen? Oder widerlegen?
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In Thread Nr. 286292 wurde von der Richtigkeit dieser Behauptung ausgegangen.
Ich habe aber so meine Zweifel, ob das so einfach machen kann.
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> Ein System von x Gleichungen mit y=x Unbekannten ist
> lösbar. So weit so gut.
Hallo,
das kommt auf die Art des Gleichungsssystems an. Für homogene lineare GS ist das immer richtig.
Aber schon das Gleichungssystem
[mm] x^2+y^2=-1
[/mm]
x+y=1
oder
x+y=1
x+y=2
hat keine Lösung in [mm] \IR.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:30 Di 31.07.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Angela, du hast mich nicht richtig verstanden.
Die Lösungen sind vorgegeben: z.B. 3 und 10
Dann weißt du, dass [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] = 109
Dabei ist es egal, ob x=3 und y=10
oder ob x=10 und y=3 ist
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:23 Di 31.07.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Ich habe mal ein Beispiel, das die Richtigkeit bestätigt. Das kann aber auch Zufall sein (??)
2a + 5b + c = 40
a + 2b +2c = 19
Das sind zwei Gleichungen mit drei Unbekannten. Also normalerweise wäre das nicht lösbar.
Nun gebe ich vor, dass die Lösung aus den Werten 1, 5 und 7 besteht.
Die dritte Gleichung wäre dann:
a + b + c = 13 (Summe aus 1, 5 und 7)
Jetzt habe ich drei Gleichungen mit drei Unbekannten, und kriege raus:
a=7 , b=5 und c=1
Aber da eine Schwalbe noch keinen Sommer macht, kann es auch ZUFALL sein, dass das so glatt hinkommt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:38 Di 31.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast in dem Bsp. nur eine lineare gl. hinzugefügt, dann ist es sicher dass es ne Lösung hat!
Nicht aber, wenn du ne nichtlineare Gleichung wie in dem genannten tread mit den 10 Unbek. dazufügst: nimm etwa seine 2. Gl. die wäre dann [mm] 2^2+6^2+8^2=104
[/mm]
also [mm] (a+1)^2+(b+1)^2+(c+1)^2=104
[/mm]
lös die 2 ersten so auf, dass noch eine der Unbek. übrig bleibt und du siehst es geht schief!
Ein Gegenbeispiel reicht um ne Behauptung zu entkräften!
Gruss leduart
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> Ein Gegenbeispiel reicht um ne Behauptung zu entkräften!
Heißt das im Klartext, dass die Sache mit den 4 zusätzlichen "frei erfundenen" Gleichungen (bei 6 Gleichungen mit 10 Unbekannten) nicht dazu taugt, das Problem zu lösen?
Das hatte ich von Anfang an intuitiv vermutet.
Allerdings: Bei 9 Gleichungen mit 10 Unbekannten KÖNNTE es zum Ziel führen.
Weil dann die 10. Gleichung die Summe a+b+c+...+k=... wäre
Vielleicht funktioniert es sogar bei 8 Gleichungen mit 10 Unbekannten, wenn man dann noch das Produkt der 10 Unbekannten nimmt (?)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Mi 01.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
i.A. wird das mit den zusätzlichen Gleichungen nicht klappen. das unterbestimmte Problem hat viele Lösungen, das dazugefügte ausser den gewünschten auch viele Lösungen, warum dann die eine die man gern will rauskommen soll ist unklar! Theorien gibt es nur für die Lösung linearer Gleichungssysteme, deshalb ist das mit den 9+1 richtig.nur eine Lösung gibts natürlich auch da nur ,wenn das ursprüngliche system unter der Nebenbedingung nur eine hat.
Alle anderen "hinzugefügten" Gleichungen können- müssen aber nicht zu einer Lösung führen, da es keine allgemeinen Theorien dazu gibt. Er hätte ja auch noch ne beliebige 11te und 12 te dazufügen können!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:02 Mi 01.08.2007 | | Autor: | rabilein1 |
@ leduart:
So hatte ich mir das auch gedacht.
Bei solchen "konstruierten" Aufgaben weiß der Fragesteller die Lösung schon von vorneherein. Deshalb gehen sie auch immer auf.
Würde man dagegen auf Gutdünken (also ohne vorher die Lösung zu kennen) sechs Gleichungen mit zehn Unbekannten aufstellen, und vorgeben, dass die Lösungsmenge die Zahlen von 0 bis 10 sind, wobei jede Zahl genau einmal auftritt, dann würde "rein zufällig" die Aufgabe mit großer Wahrscheinlichkeit zu keiner Lösung führen.
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Jeder kann so etwas ja mal "im Kleinen" ausprobieren. Zum Beispiel die folgenden 3 Gleichungen mit 5 Unbekannten, und dann ist vorgegeben, dass die Unbekannten die Zahlen 3,6,7,11 und 16 sein müssen. Und dann seht mal, ob das klappt:
2a+8b+2c+3d+7e=92
3a+2b+2c+2d+6e=89
4a+3b+3c+5d+2e=90
Viel Spaß
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